4.4. Exkurs: Gödelsche Unvollständigkeitssätze

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  1. Unvollständigkeitssatz: In jedem formalen System gibt es eine Formel, die nicht beweisbar ist.
    Einfacher ausgedrückt: Es gibt Aussagen, die nicht beweisbar sind.
  2. Unvollständigkeitssatz: Die Widerspruchsfreiheit eines formalen Systems kann nicht innerhalb des Systems bewiesen werden.
    Einfacher ausgedrückt: Ein System kann sich nicht selbst beweisen.

Kurt Gödel

Kurt Gödel 1906–1978
www.wikipedia.org

Diese Sätze beziehen sich auf formale Systeme. Ein formales System beruht auf Axiomen. Axiome sind Grundgegebenheiten, die uns intuitiv einleuchten, ohne dass sie bewiesen werden müssen. Z.B. dieses Axiom: Zu jeder natürlichen Zahl gibt es genau einen Nachfolger, der ebenfalls eine natürliche Zahl ist. So kann auf 3 nur 4 folgen. Das klingt trivial, aber genau so müssen Axiome sein. So trivial, dass wir annehmen müssen, sie sind wahr ohne sie beweisen zu müssen. Ein formales System in der Mathematik kann mit drei bis fünf Axiomen auskommen. Solche Axiome können verknüpft werden mit definierten Zeichen zu streng logisch beweisbaren Theoremen. Intuition sollte bei diesen Beweisen fehlen. Danach sollen wir harte Beweise fordern und nicht intuitiv oder gefühlsmäßig vorgehen. Aber genau das haben wir ganz am Anfang bereits getan! Die Axiome haben wir intuitiv gefunden! Unsere Subjektivität steht am Anfang, nicht objektive beweisbare Grundgegebenheiten. Selbst in der Mathematik gibt es nach dieser Überlegung keine Objektivität.

Gödels "Unvollständigkeitssätze" sind eine einzigartige Huldigung an die Kreativität des menschlichen Geistes! Philosophisch gesehen gibt es danach keine Grenze der menschlichen Erkenntnis. Wir sind nicht eingeschränkt auf Axiome, Theoreme oder Logik. Gödel war ein Mensch zwischen Genie und Wahnsinn. Er war oft depressiv und litt an Verfolgungswahn. Seine Frau musste stets vorkosten, da er Angst hatte vergiftet zu werden. Als sie starb, verhungerte er, da er paradoxerweise glaubte durch Essen vergiftet zu werden.
(Näheres in: R. Goldstein. Kurt Gödel. Piper-Verlag)

Überlegung zu Paradoxien:

Paradoxien dürfen uns nicht verunsichern, sie gehören zum Leben, sie sind auf geistiger und materieller Ebene natürlich. Was wir als Wahrheit empfinden, liegt manchmal im Widerspruch. Jeder ist sich zugleich das Allerwichtigste auf der Welt und ein verschwindend kleines Staubkorn im Universum. Jeder kann sein Leben lieben und trotzdem furchtlos den Tod akzeptieren. Gleiches gilt für Dichotomien. Paradoxien in den Naturwissenschaften kennen wir seit der Quantenphysik. Hier ist das Elektron Welle oder Teilchen, beides stimmt. Keine Absolutheit, sondern ein "Sowohl-als-auch" und Relativität.

Sind Gödels Sätze ein Beweis für unsere Ohnmacht? Nein, Ohnmacht der Logik! Nicht Ohnmacht des Menschen!

Am meisten hat mich eine eigene Überlegung überzeugt:
Logik ist nichts Natürliches oder zumindest keine Grundeigenschaft unseres Geistes.
Denn: Träume sind selten logisch! Und sie kommen direkt und ungefiltert aus unserem Unbewussten, unserer tiefsten Quelle. Schauen wir uns andererseits eine logisch aufgebaute Maschine an, den Computer, er kann nur logisch arbeiten. Unser Geist funktioniert nicht wie ein Computer. Computer führen Algorithmen aus, unser Intellekt dagegen nicht. Jeder PC funktioniert nach festen Regeln eines formalen Systems. Wenn wir den PC auffordern, uns wahre Sätze mitzuteilen, kann er uns nur Sätze liefern, die sich aus logischen Regeln des eingegebenen Systems ableiten lassen. Daher gibt es Sätze, die sich diesen Regeln entziehen und trotzdem wahr sind. Für mich ist das sehr beruhigend. Früher befürchtete ich, dass Computer eines Tages unser menschliches Gehirn übertreffen werden. Jetzt weiß ich, dass das nie funktionieren wird. Der Computer kann nur auf Axiome logisch aufbauen, die wir ihm eingegeben haben. Eine Kreativität, die wirklich Neues schafft, kann so nicht entstehen. Außerdem wird ein PC wahrscheinlich nie Gefühle entwickeln (mit Ausnahme von Hell aus Stanley Kubricks Film "Odyssee im Weltraum 2001").Das haben einige Wissenschaftler erkannt und versuchen lebende Nervenzellen mit Computern zu verbinden, sozusagen einen biologischen Computer mit Gehirnfunktion zu bauen. Hoffentlich schaffen sie das nie!

Roger Penrose

Roger Penrose
www.wikipedia.org

Roger Penrose:
Die nicht-mechanistische Natur des Geistes, die aus dem 1. Gödelschen Unvollständigkeitssatz folgt, sollte unser Denken auf nicht-mechanistische physikalische Gesetze lenken, wie sie etwa in der Quantenmechanik aufgestellt sind. Damit werden auch jene Aspekte des Geistes berücksichtigt, die nicht berechenbar sind.

 

 

analoge grafik

Quintessenz:

Wir Menschen wissen mehr als das, was sich logisch ableiten lässt.
Es gibt mehr als Wissenschaften beschreiben können.
Die lebendige Erkenntnis reicht weiter, als logische "Beweise".
Computer werden unsere Kreativität nie erreichen können.

Und wir wissen auch mehr als sich naturwissenschaftlich ableiten lässt. 10:3= 3,333333333333333...... Aber 10 Äpfel auf 3 Leute verteilen, ist für uns kein Problem: Jeder bekommt 3 und der letzte Apfel wird durch 3 geteilt.

Also höre auf Deine innere Stimme, die tiefsten Gefühle in Dir . Habe Vertrauen zu Dir selbst, zu Deinem Selbst. Du hast ungeahnte innere Kräfte in Dir. Genetisches Potenzial reduziert durch die Inquisition? Jeder hat ein Unbewusstes, das die Summe der menschlichen (und vormenschlichen) Evolution in sich trägt (kollektives Unbewusstes, Archetypen nach C.G. Jung). Eigenschaften wie Kreativität, Spontaneität, Emotionalität, Spiritualität, Intuition ... sind nicht weniger wertvoll als "wissenschaftliche" Aussagen. Sie sind anders und beinhalten grenzenlos mehr. Sie sind für uns in den wesentlichen Fragen des Lebens viel wichtiger als objektive Wahrheiten und statistische Aussagen. Wissenschaft kann die objektive Welt der Materie hervorragend beschreiben. Doch darin erschöpft sich nicht das Wesen der menschlichen Existenz. Zu uns gehört auch das subjektive Bewusstsein mit seinen Gefühlen, Gedanken, Hoffnungen ... Wenn wir diesen Bereich außer Acht lassen und ihn so behandeln, als spiele er keine maßgebliche Rolle für unser Verständnis der Welt, verzichten wir auf den Reichtum unserer Existenz, und unsere Einsicht wird nicht vollkommen werden können.

Pazifikküste vor Panama 1/2008

Pazifikküste vor Panama 1/2008

Das ist der 6. Sinn.

Unsere Kultur sagt, wir haben 5 Sinne: Sehen, Hören, Riechen, Schmecken und Fühlen. Die mentale Erfahrung, das Bewusstsein der ersten Person (= ich empfinde), wird ignoriert. Essen wir eine Erdbeere, sehen wir eine Farbe und Form, riechen ihren Duft, schmecken ihr Aroma, aber wir haben dabei auch eine Empfindung, die darüber hinausgeht. Einen emotionalen Gesamteindruck, eine subjektive Empfindung, vielleicht die Verbindung mit einem Erlebnis. Noch deutlicher wird es, wenn man einen nahestehenden Menschen erlebt. Wenn ich z.B. Gabi ansehe, kann ich sie ggf. mit allen 5 Sinnen wahrnehmen, sie beinhaltet jedoch sehr viel mehr für mich mit allen Erinnerungen an gemeinsame Erlebnisse, Hoffnung in eine gemeinsame Zukunft usw. Der 6. Sinn ist also keine übernatürliche Fähigkeit, sondern unser mentaler Sinn mit subjektiven Empfindungen, unser Bewusstsein.

Lass Dein Blickfeld nicht einengen von angeblich Wissenden (Wissenschaftler, Lehrer, Gurus, Fachidioten ...), sie beschränken. Sei offen für alles!

Weder von den Naturwissenschaften, noch von der Philosophie her kommen wir wirklich weiter an den "letzten, wahren Grund" von allem und damit auch nicht an den Sinn unseres Lebens.

Das verlorene Pferd
(chinesische Legende)

Pferde

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In China lebte an der nördlichen Grenze des Reiches ein Mann, der sich vorzüglich auf die Deutung von Ereignissen verstand. Eines Tages lief ihm ohne ersichtlichen Grund sein Pferd davon, fort zu den Nomaden jenseits der Grenze. Alle versuchten ihn zu trösten, aber sein Vater sagte: "Woher wisst ihr, dass es nicht ein Segen ist"? Einige Monate später kehrte sein Pferd zurück, von einem prächtigen Hengst der Nomaden begleitet. Alle beglückwünschten ihn, aber sein Vater sagte: "Woher wisst ihr, dass es nicht ein Unglück ist"? Sein Hausstand war um ein prächtiges Pferd reicher, das sein Sohn mit großem Vergnügen ritt. Eines Tages stürzte er aus dem Sattel und brach sich die Hüfte. Alle versuchten ihn zu trösten, aber sein Vater sagte: "Woher wisst ihr, dass es nicht ein Segen ist"?

Ein Jahr später drangen die Nomaden über die Grenze, und jeder Mann mit heilen Gliedern ergriff seinen Bogen und stürzte in die Schlacht. Die chinesischen Grenzbewohner verloren neun Zehntel ihrer Männer. Nur der Lahmheit des Sohnes hatten Vater und Sohn es zu verdanken, dass beide überlebten und füreinander Sorge tragen konnten. Wahrhaftig, Segen verkehrt sich in Unglück und Unglück in Segen: Des Wandels ist kein Ende, und das Geheimnis ist unergründlich.

(aus: Kleine Anleitung zum Klugsein, Klett-Cotta, E. Langer)

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